Cách tính tích phân suy rộng bằng máy tính

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác định trên

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên Bạn đang xem: Cách tính tích phân suy rộng bằng máy tính

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng

là hội tụ (integral is convergent)

Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng

là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ:

là hội tụ; là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1.

2.

.

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:

Ta có:

(*)

– Trước tiên, Tính tích phân:

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

Thế vào (*) ta có:

(do

)

Vậy: I hội tụ và

1.2 Định nghĩa:

1.3 Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân:

0 ; }}{\rm{ s > 0}}" class="latex" />

Nếu

1} " class="latex" /> thì tích phân hội tụ.

Nếu

thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có:

_{x=a}^c " class="latex" />

Với s > 1. Khi đó:

Vậy chuỗi hội tụ.

Với s =1: theo ví dụ trên ta có chuỗi phân kỳ.

Với s

= + \infty " class="latex" /> (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý so sánh 1:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên , và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn). Khi đó:

Nếu hội tụ thì tích phân hội tụNếu phân kỳ thì tích phân phân kỳ.

Xem thêm: Hướng Dẫn Xem Youtube Full Hd Android Box Ogyoutube, Youtube Full Hd Android Box

1.4.2 Định lý so sánh 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và cùng khả tích trên , và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn).

Nếu

Nhận xét:

– Để xét sự hội tụ của tích phân

, ta cần xây dựng hàm g(x) sao cho . Nghĩa là, f(x) và g(x) là hai lượng tương đương.

Muốn vậy, ta cần nhận diện và thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) có trong f(x) bằng các VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả hai hàm f(x) và g(x) phải cùng khả tích trên

1.5 Các ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:

Ví dụ 1

.

Rõ ràng: hàm

là hàm số dương, xác định và liên tục với mọi x thuộc .

Khi

: lnx là VCL nhưng không tìm được VCL tương đương tương ứng. Vì vậy, ta không dùng dấu hiệu so sánh 2.

Ta có thể dùng dấu hiệu so sánh 1. Muốn vậy, cần chặn hàm lnx. Ta dễ dàng có bất đẳng thức sau:

Vậy tích phân đã cho phân kỳ.( do tích phân

phân kỳ).

Ví dụ 3

{1+x^2}}}}dx " class="latex" /> . $latex $

Xem xét hàm lấy tích phân, ta thấy:

Khi

{1+x^2}} \sim x^{\frac{2}{3}} " class="latex" />

Vậy:

{1+x^2}}} \sim \dfrac{1}{x^{\frac{7}{6}}} = g(x) " class="latex" />

Mà f(x) và g(x) cùng khả tích trên <1;+∞) nên

và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Mặt khác:

hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

Ví dụ 4.

{x}}{1+x^2}} dx " class="latex" /> . $latex $

Khi

ta có:

{x}}{1+x^2} \sim \dfrac{x^{\frac{1}{3}}}{x^2} = \dfrac{1}{x^{\frac{5}{3}}} = g(x) " class="latex" />

Tuy nhiên, f(x) xác định và liên tục với mọi

, còn g(x) không xác định tại x = 0 nên ta chưa thể dùng dấu hiệu so sánh 2 được.

Khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có:

{x}}{1+x^2} dx + \int\limits_1^{\infty} \dfrac{\sqrt<3>{x}}{1+x^2} dx " class="latex" />

– Do

{x}}{1+x^2} " class="latex" /> xác định và liên tục trên <0;1> nên {x}}{1+x^2} dx " class="latex" /> là tích phân xác định nên hội tụ.

–

{x}}{1+x^2} dx \sim \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x^{5/3}} " class="latex" /> nên hội tụ.