Cho hình chóp s abcd
worldlinks.edu.vnôn Toán - Lớp 12 50 bài tập trắc nghiệworldlinks.edu.vn thể tích khối đa diện worldlinks.edu.vnức độ vận dụng
Câu hỏi: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa \(AC\) và \(SB\) bằng \(a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
Bạn đang xem: Cho hình chóp s abcd
A \(\dfrac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}\)B \(\dfrac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}\)C \(\sqrt 2 {a^3}\)D \(\dfrac{{3{a^3}}}{{\sqrt 2 }}\)Phương pháp giải:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d"\) là khoảng cách từ 1 điểworldlinks.edu.vn trên \(d\) tới worldlinks.edu.vnặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(d"\) và song song với \(d\).
- Dựa vào khoảng cách giữa \(AC\) và \(SB\) để tính độ dài \(SA\) và thể tích khối chóp.
Xem thêm: Cách Tạo Khung Viền Đẹp Trong Word 2010 Đẹp Và Đơn Giản Nhất
Lời giải chi tiết:
Qua \(B\), kẻ \(BE\parallel AC\,\,\left( {E \in DC} \right)\). Ta có: \(AC\parallel \left( {SBE} \right) \supset SB\).
Suy ra \(d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AB;\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right).\)
Qua \(A,\) kẻ \(AH \bot BE\,\,\,\,\left( {H \in BE} \right);\)\(AK \bot SH\left( {K \in SH} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BE\\AH \bot BE\end{array} \right\} \Rightarrow BE \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BE \bot AK\\AK \bot AH \Rightarrow AK \bot \left( {SBE} \right)\\ \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = AK\\ \Rightarrow AK = a.\end{array}\)
Vì \(BE\parallel AC \Rightarrow \angle CBE = \angle ACB = {45^0}\) (so le trong).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ABH = {180^0} - \angle ABC - \angle CBE\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - {90^0} - {45^0} = {45^0}.\end{array}\)
Do đó, taworldlinks.edu.vn giác \(AHB\) vuông cân tại \(H\). Suy ra \(AH = HB = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 a.\)
Taworldlinks.edu.vn giác \(SAH\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên:
\(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}}\) (Hệ thức lượng)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}}} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .\)
Vậy thể tích của khối chóp đã cho là: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\sqrt 2 a.{\left( {2a} \right)^2} = \dfrac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}.\)
