Hàm số mũ và logarit

Để vẽ được đồ thị hàm số mũ và logarit nói chung và đồ thị hàm số mũ nói riêng, chúng ta không được bỏ qua lý thuyết về định nghĩa, đạo hàm và tính chất.

Về định nghĩa của hàm số mũ, theo kiến thức THPT đã được học, Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x^2-x-6}$, $y=10^x$,...

Về đạo hàm của hàm số mũ, ta có công thức theo 2 định lý như sau:

Lưu ý: Hàm số mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit

Về tính chất, học sinh cần lưu ý ghi nhớ tính chất để áp dụng thành thạo trong bước khảo sát vẽ đồ thị hàm số mũ và logarit nói chung và hàm số mũ nói riêng.

Ta có bảng tính chất của hàm số mũ như sau:

Xét hàm số $y=a^x$ với $a>0$, $a\neq 1$:

1.2. Lý thuyết về hàm số logarit

Cùng worldlinks.edu.vn ôn tập lại định nghĩa về hàm số logarit trước khi đi vào xét đồ thị hàm mũ và logarit trong chương trình THPT nhé:

Cho số thực $a>0$, $a\neq 1$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm sốlogarit cơ số $a$.

Tập xác định: Hàm số $y=log_ax$ $(0

Tập giá trị: Do $log_ax\in \mathbb{R}$ nên hàm số $y=log_ax$ có tập giá trị là $T=\mathbb{R}$.

Xem thêm: Bật Mí Cách Chia Thời Gian Làm Bài Thi Thpt Quốc Gia 2022, Lịch Thi Tốt Nghiệp Thpt Quốc Gia 2022

Xét các trường hợp:

Xét trường hợp hàm số $y=log_a$ điều kiện $P(x)>0$. Nếu a chứa biến $x$ thì ta bổ sung điều kiện $0

Xét trường hợp đặc biệt: $y=log_a^n$ điều kiện $P(x)>0$ nếu $n$ lẻ; $P(x)\neq 0$ nếu $n$ chẵn.

Về đạo hàm hàm logarit, ta có những công thức như sau:

Cho hàm số $y=log_ax$. Khi đó đạo hàm hàm logarit trên là:

Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số $y=log_au(x)$.Đạo hàm là:

Đầy đủ hơn, các em tham khảo bảng công thức đạo hàm logarit dưới đây:

Khi xét đồ thị của hàm số mũ và logarit, các em cần nhớ tính chất rất quan trọng và mang tính quyết định đúng sai của bài toán. Cụ thể, tính chất của hàm số logarit giúp chúng ta xác định được chiều biến thiên và nhận dạng đồ thị dễ hơn.

Với hàm số $y=log_ax\Rightarrowy"=\frac{1}{xlna} (\forall x\in (0;+\infty ))$. Ta có:

Với $a>1$ ta có $(log_ax)"=\frac{1}{xlna}>0$ Hàm số luôn đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$, đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.

Với $ 0

2. Đồ thị hàm mũ và logarit

Để vẽ đúng đồ thị của hàm số mũ và logarit, các em cần thực hiện thứ tự theo các bước worldlinks.edu.vn hướng dẫn dưới đây để tránh nhầm lẫn. Sau đó khi đã thành thục, các em có thể bỏ qua một số bước để rút gọn thời gian làm bài (đối với các bài đồ thị hàm mũ và logarit dạng trắc nghiệm).

2.1. Các bước vẽ đồ thị hàm số mũ và bài tập ví dụ

Khi chuẩn bị vẽ đồ thị hàm số mũ, các em cần lưu ý giá trị của cơ số a vì nó sẽ quyết định hàm số mũ đó đồng biến hay nghịch biến, từ đó suy ra chiều đồ thị của hàm số mũ.

Đồ thị của hàm số mũ được khảo sát và vẽ dạng tổng quát như sau:

Đồ thị:

Đồ thị:

Chú ý: Đối với các hàm số mũ như $y=(\frac{1}{2})^x$, $y=10^x$, $y=e^x$, $y=2^x$ đồ thị của hàm số mũ sẽ có dạng đặc biệt như sau:

Để hiểu cụ thể hơn, các em cùng xét ví dụ minh hoạ sau đây:

VD:

Lời giải

2.2. Cách vẽ đồ thị hàm số logarit và bài tập minh hoạ

Để vẽ đồ thị hàm số logarit, các em thực hiện lần lượt 3 bước sau đây:

Xét hàm số logarit $y=log_ax$

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Tập xác định D = (0 ; +∞), $y=log_ax$nhận mọi giá trị trong $\mathbb{R}$.

Bước 2: Xác định giá trị a trong 2 trường hợp sau:

Hàm số đồng biến trên R khi a > 1

Hàm số nghịch biến trên R khi 0

Bước 3: Đồ thị qua điểm (1;0), nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Bước 4: Vẽ đồ thị

Để hiểu hơn về cách vẽ đồ thị hàm số logarit, các em cùng theo dõi ví dụ sau đây:

VD: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Tập xác định

Vì a = 5>1 nên hàm số đồng biến $\mathbb{R}$

Đồ thị qua điểm (1;0), nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên

Đồ thị

3. Bài tập luyện tập về đồ thị hàm số mũ và logarit

Nhằm giúp các em giải các dạng toán đồ thị hàm số mũ và logarit nhanh và chính xác nhất, worldlinks.edu.vn đã tổng hợp và biên soạn bộ bài tập full các dạng đồ thị hàm số mũ và logarit lớp 12. Trong file bài tập này, các thầy cô đã chọn lọc những bài tập có cấu trúc giống với các bài kiểm tra, các đề thi. Các em nhớ tải về để luyện tập nhé!

Tải xuống file trọn bộ bài tập đồ thị hàm số mũ và logarit

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết hàm số mũ và logarit phiên bản siêu đặc biệt

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách làm bài tập đồ thị hàm số mũ và logarit. Các em nhớ luyện thật nhiều bài tập để thành thạo dạng toán này nhé!