Bài viết này sẽ Worldlinks.edu.vn cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản về sự đồng biến nghịch biến của hàm số, cùng với các ứng dụng thực tế quan trọng của chúng.
Khái niệm hàm số là gì?
Hàm số trong toán học là một mối quan hệ giữa hai tập hợp A và B, trong đó mỗi phần tử a thuộc tập hợp A được gán cho duy nhất một phần tử b thuộc tập hợp B. Tập hợp A được gọi là tập xác định của hàm số, tập hợp B được gọi là tập giá trị của hàm số.
- Hàm số là quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x (thuộc tập xác định) với duy nhất một giá trị y (thuộc tập giá trị).
- Ký hiệu: y = f(x) (đọc là “y bằng f của x”), trong đó f là tên của hàm số, x là biến số, y là giá trị của hàm số tại x.
Ví dụ:
Hàm số y = 2x + 1: Với mỗi giá trị x, ta tính được duy nhất một giá trị y theo công thức y = 2x + 1.
Hàm số f(x) = x^2: Với mỗi giá trị x, ta tính được duy nhất một giá trị f(x) theo công thức f(x) = x^2.
Sự đồng biến nghịch biến của hàm số khi nào
Hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến là hai khái niệm quan trọng được sử dụng để mô tả chiều hướng thay đổi của giá trị hàm số khi biến số độc lập thay đổi.
Định nghĩa sự đồng biến nghịch biến của hàm số
- Hàm số đồng biến: Giả sử hàm số f(x) xác định trên một khoảng I. Ta gọi hàm số f(x) đồng biến trên I nếu với bất kỳ hai điểm a và b bất kỳ thuộc I và a < b, ta luôn có f(a) ≤ f(b).
- Hàm số nghịch biến: Giả sử hàm số f(x) xác định trên một khoảng I. Ta gọi hàm số f(x) nghịch biến trên I nếu với bất kỳ hai điểm a và b bất kỳ thuộc I và a < b, ta luôn có f(a) ≥ f(b).
Điều kiện cần và đủ để sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Có hai cách chính để xác định hàm số đồng biến, nghịch biến:
- a) Dựa vào bảng giá trị:
- Hàm số đồng biến: Khi giá trị của hàm số tăng lên cùng với giá trị của biến số độc lập.
- Hàm số nghịch biến: Khi giá trị của hàm số giảm xuống cùng với giá trị của biến số độc lập.
Ví dụ:
| x | f(x) |
| -1 | 1 |
| 0 | 2 |
| 1 | 3 |
- b) Dựa vào đạo hàm:
Định lý:
- Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f(x) đồng biến trên I.
- Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f(x) nghịch biến trên I.
- Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ I (trừ một số điểm hữu hạn) thì hàm số f(x) không đổi trên I.
Ví dụ:
- Xét hàm số f(x) = x^2. Ta có f'(x) = 2x.
- Trường hợp x > 0: f'(x) > 0 => f(x) đồng biến.
- Trường hợp x < 0: f'(x) < 0 => f(x) nghịch biến.
Cách xác định sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Để xác định xem một hàm số có tính đồng biến hay nghịch biến hay không, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định tập xác định (TXĐ) của hàm số.
- Tìm các giá trị của biến số x khiến cho biểu thức hàm số có nghĩa.
- Loại trừ các giá trị x khiến cho biểu thức hàm số vô nghĩa (mẫu số bằng 0, căn bậc hai của số âm, v.v.).
Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
- Sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản để tính đạo hàm f'(x) của hàm số đã cho.
- Lưu ý: Đạo hàm có thể là hàm số bậc cao, hàm số chứa căn bậc hai, hàm số chứa giá trị tuyệt đối, v.v.
Bước 3: Tìm các điểm x thỏa mãn f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
- Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm x khiến cho đạo hàm bằng 0.
- Xác định các giá trị x khiến cho đạo hàm f'(x) không xác định (mẫu số bằng 0, v.v.).
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
- Tạo bảng với các cột: x, f(x), f'(x), Kết luận.
- Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần.
- Tại mỗi điểm x, tính giá trị f(x) và f'(x).
- Dựa vào dấu của f'(x) tại mỗi khoảng, xác định tính đồng biến/nghịch biến của hàm số trên khoảng đó.
Bước 5: Rút ra kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Dựa vào bảng biến thiên, xác định các khoảng mà hàm số đồng biến và các khoảng mà hàm số nghịch biến.
- Ghi rõ kết luận về tính đồng biến/nghịch biến của hàm số trên từng khoảng xác định.
