Công thức cấp số cộng cấp số nhân
Công thức giải nhanh cấp số cộng
Cấp số cộng
1. Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.
Bạn đang xem: Công thức cấp số cộng cấp số nhân
Công thức tính tổng cấp số cộng:∀n∈N∗,Un+1=Un+d
Giải thích:
Kí hiệu d được gọi là công saiUn+1–Un= d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số cònUn+1;Unlà hai số liên tiếp của dãy số CSCKhi hiệu sốUn+1–Unphụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng.+ Tính chất:
Ví dụ:
Dãy số3;6;9;12;153;6;9;12;15là một cấp số cộng vì:
6=3+39=6+312=9+315=12+36=3+39=6+312=9+315=12+3
Đây là CSC có công said=4d=4và số hạng đầuu1=3u1=3.
2. Số hạng tổng quátun=u1+(n–1)d,(n≥2)un=u1+(n–1)d,(n≥2).
d=un−u1n−1d=un−u1n−1.
Ví dụ:
Cho CSC(un)(un)biếtu1=−1,d=3u1=−1,d=3. Tìmu20u20.
Ta có:
u20=u1+(20−1)d=u1+19d=−1+19.3=56
3. Tính chất
Bài tập cấp số cộng minh họa
Câu 1. < Đề thi tham khảo lần 2 năm 2020> Cho cấp số cộng (un) với u1= 3, u2= 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
Hướng dẫn giải
Câu 2.< Đề thi thử chuyên KHTN Hà Nội> Cho một cấp số cộng cóu1=−3;u6=27. Tìm d ?Hướng dẫn giảiDựa vào công thức cấp số cộng ta có:u6=27⇔u1+5d=27⇔−3+5d=27⇔d=6
Câu 3: < Đề thi thử chuyên Vinh Nghệ An> Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.Hướng dẫn giảiGiả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có:
Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8.
Câu 4. < Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An> Cho dãy số(un)có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?Hướng dẫn giảiTa có:
Câu 5.< Đề thi thử sở GD Hà Nội> Xác định a để 3 số :1+3a;a2+5;1−atheo thứ tự lập thành một cấp số cộng?Hướng dẫn giảiBa số :1+3a;a2+5;1−atheo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khia2+5−(1+3a)=1−a−(a2+5)⇔a2−3a+4=−a2−a−4⇔a2−a+4=0PT vô nghiệm
Phân dạng bài tập cấp số cộng
Dạng 1: Nhận biết cấp số cộngBước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức:d=un–un–1,∀n≥2.
Bước 2: Kết luận:
Nếu d là số không đổi thì dãy(un)là CSC.Nếu d thay đổi theo n thì dãy(un)không là CSC.Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộngSử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d
Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộngSử dụng công thức tính số hạng tổng quátun=u1+(n–1)d
Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiênTa vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:
Bài tập cấp số cộng
Bài 1. <Đề tham khảo lần 2 năm 2020> Cho cấp cấp số cộng (un) với u1= 3 và u2= 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
Hướng dẫn giải
Công sai của cấp số cộng đã cho bằngu2–u1=6
Bài 2:<Đề thi thử toán 2020 sở GD Hà Nội> Cho một CSC cóu1=–3;u6=27. Tìm d ?
Hướng dẫn giải
u6=27⇔u1+5d=27⇔–3+5d=27⇔d=6
Bài 3: <Đề thi thử toán 2020 Chuyên PBC> Cho một CSC cóu1=13;u8=26Tìm d?
Hướng dẫn giải
u8=26⇔u1+7d=26
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.
2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.
3. TínhS=u4+u5+…+u30.
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết bài toán, ta có:
1. Số hạng thứ 100 của cấp số:u100=u1+99d=–295
Chú ý: Ta có thể tínhStheo cách sau:
1. Xác định công sai?
2. Tính tổngS=u5+u7+…+u2011
Hướng dẫn giải
1. Ta có:
Cách để Tìm tổng của cấp số cộng
Cấp số cộng là dãy số trong đó mỗi số hạng tăng thêm một lượng không đổi. Để tính tổng các số hạng của cấp số cộng, bạn có thể cộng nhẩm tất cả các số. Tuy nhiên, việc này sẽ không khả thi khi cấp số cộng gồm nhiều số hạng. Thay vào đó, bạn có thể nhanh chóng tìm tổng của cấp số cộng bằng cách nhân trung bình cộng của số hạng thứ nhất và số hạng cuối với số số hạng.
Đánh giá cấp số cộng của bạn
Cấp số cộng là dãy số liên tiếp, trong đó sự sai khác giữa các số hạng là hằng số.<1>Phương pháp này chỉ đúng khi dãy số của bạn là cấp số cộng.
Để xác định liệu bạn có cấp số cộng hay không, hãy tìm sai khác giữa vài số hạng đứng đầu dãy số và giữa những số hạng đứng cuối dãy số. Đảm bảo sai khác đó không thay đổi.Ví dụ, dãy số 10, 15, 20, 25, 30 là một cấp số cộng vì sai khác giữa các số hạng liên tiếp là hằng số.
Mỗi số trong cấp số cộng được gọi là số hạng. Nếu chỉ có một vài số hạng thì bạn có thể đếm. Mặt khác, nếu bạn biết số hạng đầu tiên, số hạng cuối cùng và công sai (sai số giữa mỗi số hạng), bạn có thể dùng công thức để tính số số hạng. Hãy đặt số số hạng phải tìm là biến số{\displaystyle n}.
Giả sử nếu bạn tính tổng của cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30 thì{\displaystyle n=5}
Xem thêm: Tải Game Đuôi Hinh Bat Chu, Tổng Hợp Đáp Án Đuổi Hình Bắt Chữ Mới Nhất
Bạn cần biết cả hai số hạng này để tính tổng cấp số cộng. Thường thì số hạng đầu tiên sẽ là 1 nhưng không phải lúc nào cũng vậy. Hãy đặt biến sốlà số hạng đầu tiên của cấp số cộng vàlà số hạng cuối của cấp số cộng.
Chẳng hạn, trong cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30,
Tính tổng
Công thức sẽ là:
trong đó{\displaystyle S_{n}}
Đảm bảo bạn thay số chính xác.
Ví dụ, nếu bạn có 5 số hạng trong cấp số cộng, 10 là số hạng đầu, và 30 là số hạng cuối, công thức sẽ như sau:
Để làm phép tính này, bạn hãy cộng hai số trên và chia cho 2.
Ví dụ:
Bạn sẽ được tổng của cấp số cộng.
Ví dụ:
Hoàn thành các bài toán mẫu
Tìm tổng của các số từ 1 đến 500.Hãy coi các số này đều là số nguyên liên tiếp.
Xác định số số hạng () trong cấp số cộng. Vì ta đang coi là dãy số nguyên liên tiếp đến 500 nên
Giải bài toán sau đây
Mara tiết kiệm 5 đô la trong tuần đầu tiên của năm. Trong khoảng thời gian còn lại của năm, cô ấy tăng số tiền tiết kiệm hằng tuần thêm 5 đô la mỗi tuần. Hỏi đến cuối năm Mara tiết kiệm được bao nhiêu tiền?
Tìm số số hạng () trong cấp số cộng. Vì Mara tiết kiệm trong 52 tuần (1 năm) nên
Các công thức liên quan đến cấp số cộng
Hai bài toán cơ bản liên quan đến dãy số có thể giải khá dễ dàng đối với cấp số cộng. Cụ thể
– Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng:
ak = a + (k-1)d.
– Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
Ở đây khi chứng minh công thức thứ nhất, ta đã dùng ý tưởng của Gauss (khi ông còn là 1 cậu bé) khi ông tính tổng 1 + 2 + … + 99 + 100 rằng 1 + 100 = 2 + 99 = … = 50 + 51 gồm 50 cặp số, mỗi cặp có tổng bằng 101.
Cuối cùng, cũng cần nhắc đến công thức tính số số hạng của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu, số hạng cuối và công sai:
Số số hạng = <(Số hạng đầu – Số hạng cuối): công sai> + 1
Đây chính là công thức của bài toán trồng cây quen thuộc ở cấp 2!
Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp sốPhương pháp:
– Ba số theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng a + c = 2b.
– Ba số theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân ac =
– Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua
– Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua
Phương pháp:
– Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
